Site Qui Fait Les Exercices De Maths?
Le plus Youtubeur : les Bons Profs – Tu connais sans doute la chaîne YouTube des Bons Profs , avec ses 1600 vidéos d’explication de cours qui t’ont probablement déjà sauvé la vie plusieurs fois quand tu avais besoin d’une aide de dernière minute la veille d’un exam.
Quelle est l’application qui corrige les exercices de maths ?
Socratic est une application qui risque bien de faire parler d’elle très longtemps. Disponible pour le moment sur iOS et sur un site web (l’application Android arrive bientôt), Socratic propose de faire les devoirs à la place des élèves. Et en plus de faire le travail pour eux, elle les fait réviser pour qu’un jour ils n’en aient plus besoin.
A l’origine, Socratic est un site web certainement connu de certains petits malins. Son but est grosso modo de faire les devoirs à la place des élèves. Aujourd’hui, Socratic débarque dans une application pour iOS et très bientôt sur Android (en cours de développement).
Vous vous souvenez de Photomath, l’application qui résolvait les problèmes de mathématiques ? Et bien Socratic est étendu à toutes les matières que les élèves soient au collège, au lycée et même à l’université. On peut donc trouver des matières comme la biologie, la chimie, les maths, la psychologie, l’histoire, l’astronomie, l’anatomie, la géographie et plein d’autres encore.
Socratic fonctionne par ailleurs de manière extrêmement simple. Il suffit de prendre en photo la feuille du sujet et l’application résout le problème immédiatement, avec les étapes pour parvenir au résultat.
En plus de la solution, les élèves et étudiants peuvent accéder à différentes ressources d’un simple glissement de doigt : vidéos, cours, explications etc. Le but est de les amener à réviser, à apprendre pour finir par se passer de l’application Socratic.
- Seul petit bémol pour le moment, Socratic fonctionne en anglais;
- Vous allez devoir traduire vos énoncés en anglais donc;
- Alors sauf si vous avez une prof d’anglais sympa pour traduire tous vos sujets, il va falloir maîtriser un peu la langue de Shakespeare;
En attendant l’arrivée d’une version française et d’autres langues. Comme expliqué plus haut, aucune version Android n’est disponible pour le moment mais vous pouvez accéder au site web Socratic. org pour pouvoir utiliser le service. En attendant, ça peut toujours servir non ?.
Comment résoudre les exercices de math ?
Est-ce que KWYK est payant ?
Comment tester Kwyk avec mes élèves ? – Nous proposons à chaque enseignant de tester Kwyk avec une ou plusieurs classes pendant un mois. L’enseignant peut ainsi prendre en main l’outil. Nous l’accompagnons pendant toute la durée du test, répondons à ses questions et adaptons la plateforme.
Comment trouver le corrigé d’un devoir ?
Garodevoirs est un site créé dans le but d’offrir aux collégiens, lycéens ou étudiants la correction de tous leurs devoirs, la rédaction sur mesure de n’importe quel sujet et l’accès à des milliers de corrigés en ligne.
Comment avoir les réponses en maths ?
Comment utiliser socratic ?
Socratic, l’appli qui résout les problèmes – Nous n’allons pas mentir, les meilleurs souvenirs que l’on garde des années lycée , pour ceux et celles qui l’ont quitté depuis longtemps, ce ne sont certainement pas les devoirs. Il existe désormais une application pour smartphone qui peut faire certains devoirs à votre place.
Le principe de Socratic est très simple. Il suffit de prendre une photo de votre problème et de l’envoyer à l’application. Un programme informatique décrypte alors les informations et résout le problème à votre place.
L’application vous donne alors la solution au problème et vous déroule le procédé de résolution.
Quel sont les applications utilisées pour les calculs ?
Comment calculer les équations ?
Comment résoudre ce problème ?
Comment se connecter à KWYK ?
Si l’élève a complété son profil et renseigné son adresse mail, il lui suffit de cliquer sur le bouton ‘ CONNEXION ‘ puis sur ‘Mot de passe oublié’, il recevra dans les 10 minutes un nouveau mot de passe par mail.
Quand a été inventé l’algèbre ?
Histoire de l’algèbre – 
L’algèbre a d’abord été une branche des mathématiques qui concernait les règles des opérations sur les nombres et la résolution des équations pour devenir plus tard une théorie des opérations puis des propriétés sur les êtres mathématiques en général. Cette rubrique tente de retracer la longue épopée d’une discipline qui a commencé, il y a plus de 4000 ans, à l’époque de la civilisation babylonienne et qui aujourd’hui encore poursuit son évolution. Les initiateurs de l’algèbre : – Babyloniens et égyptiens – Chinois – Grecs – Indiens La naissance de l’algèbre dans le monde arabo-musulman : – al Khwarizmi et l’al jabr – Abu Kamil – Les algébristes arithméticiens – Les géomètres algébristes L’algèbre dans le monde de l’Occident : – En Italie – Vers le symbolisme – Evolution moderne Les initiateurs de l’algèbre Deux mille ans avant J.
, babyloniens et égyptiens savent résoudre de façon rhétorique des problèmes concrets du premier et second degré en utilisant implicitement des propriétés sur les opérations sans aucune notation symbolique.
Les égyptiens possèdent toutefois quelques symboles comme ceux qui représentent l’addition (une paire de jambes marchant vers la gauche, le sens de l’écriture) et la soustraction (une paire de jambes marchant vers la droite). + et – Les calculateurs babyloniens désignent l’inconnue par “le côté” et la puissance deux est appelée “le carré”. Extrait d’un papyrus égyptien du 2e millénaire avant J. Le problème revient aujourd’hui à résoudre l’équation : x + x/5 = 21 Il y a un peu plus de 2000 ans, les chinois connaissaient des méthodes pour résoudre les systèmes linéaires proches de notre méthode des combinaisons linéaires. Ils employaient également la méthode de fausse position. Extrait du manuscrit chinois « Neuf chapitres sur l’art du calcul », Ier siècle Le problème revient aujourd’hui à résoudre le système d’équations : 2x = 1 + y 3y = 1 + z 4z = 1+ x x, y et z étant les poids respectifs d’une gerbe de chaque récolte. Chez les grecs , les nombres sont intimement liés à des concepts géométriques, de ce fait, ils n’apporteront pas de techniques nouvelles de calculs. Ils s’attacheront à passer par des constructions à la règle et au compas pour représenter les solutions qui sont nécessairement des rationnels positifs. Extrait du Livre II Proposition 11 des Eléments d’Euclide. Dans le langage d’aujourd’hui : Soit [AB] un segment donné, il s’agit de déterminer le point H de [AB] tel que le carré construit sur [AH] ait la même aire que le rectangle de côtés [HB] et [AB]. Ce qui revient à résoudre l’équation : x 2 = AB(AB – x), où x = AH.
L’amorce du symbolisme en algèbre voit le jour dans « Les arithmétiques » avec Diophante d’Alexandrie (IIIe siècle) qui introduit un certain nombre d’abréviations. Les raisonnements restent cependant écrits en toute lettre.
Sa notation est dite syncopée, ce qui signifie que les mots sont remplacés par des abréviations. Diophante utilise des techniques algébriques sans faire référence à la géométrie et par là, il s’oppose radicalement aux méthodes passées des géomètres grecs.
- En Inde Chez Aryabhata l’Ancien (476 ; 550), on trouve dans son « Aryabhatîya », écrit en sanscrit en 510, des problèmes énoncés de façon concrète qui correspondent à des équations linéaires ou à des systèmes d’équations du premier degré;
Plus tard, dans le « Brahma Sphuta Siddhanta » (L’ouverture de l’Univers), datant de 628, Brahmagupta (598 ; 660) exprime des solutions d’équations quadratiques. Problème donné par Aryabhata l’Ancien (476 ; 550) Dans le langage d’aujourd’hui : Si a et b sont les sommes possédées, c et d le nombre d’objets possédés, alors : x = (b-a)/(c-d) est le prix de chaque objet. La naissance de l’algèbre dans le monde arabo-musulman Le développement de l’algèbre dans le monde arabo-musulman s’est effectué en deux temps. Au VIIe et VIIIe siècle, les mathématiciens héritent du savoir passé (grec, indien, …) et entre dans une longue période de traduction.
| Al Khwarizmi et l’al jabr : Selon l’historien Ahmed Djebbar , l’acte de naissance officiel de l’algèbre en tant que discipline vient avec le savant perse Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (790 ; 850). Dans un premier ouvrage, il expose le système décimal et les règles du calcul indien. Avec le « Kitâb al-jabr wa al-muqâbala » (Le livre du rajout et de l’équilibre), rédigé entre 813 et 833 et dédié au calife al Mamum , al Khwarizmi pose les bases des méthodes algébriques de résolution des équations ainsi qu’une synthèse des règles héritées des grecs et des textes néo-persans. En grande partie, l’ouvrage traite de problèmes de la vie courante (partages d’héritage, droits de succession, échanges commerciaux, arpentages des terres…) | Al Khwarizmi |
Extrait du livre du rajout et de l’équilibre d’al Khwarizmi Son algèbre reste rhétorique sans symbolisme aucun, même pour les nombres. Il appelle « dirham » (monnaie de l’époque) un nombre simple, « chay » (chose) l’inconnue et « mal » le carré de l’inconnue. Tous les coefficients sont positifs et tous les termes s’additionnent. Sa technique consiste à ramener toutes les équations à l’une des six équations canoniques dont il sait trouver la solution :
| 1) ax 2 = bx 2) ax 2 = c 3) bx = c 4) ax 2 + bx = c 5) ax 2 + c = bx 6) bx + c = ax 2 |
Pour y arriver, il utilise des méthodes de résolutions : – al jabr (le reboutement, 4x – 3 = 5 devient 4x = 5 + 3). Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache a s’en débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. Le mot “al jabr” est réutilisé dans de nombreux manuels postérieurs et deviendra en Europe : l’algèbre.
Al Khwarizmi peut être considéré comme le fondateur d’une véritable théorie de résolution des équations quadratiques. Il propose également quelques problèmes d’héritages menant à des systèmes d’équations mais qu’il ramène, pour les résoudre, à une équation linéaire. |
L’Algèbre d’Al Khwarizmi |
| Abu Kamil : Shuja Abu Kamil (850 ; 930) prolonge les travaux d’ al Khwarizmi sur les équations quadratiques dans « al Kitab al kamil fi l-jabr wa l-muqabala » (Livre complet en algèbre). Son second livre « Kita bat-tara’if l-hisab (Livre des choses rares en calcul) est entièrement consacré aux systèmes d’équations. Abu Kamil possède un degré d’abstraction supérieur à son prédécesseur. Plus tard, Thabit ibn Qurra (836 ; 901) sera le premier à distinguer clairement les méthodes algébriques et géométriques et prouvera qu’elles mènent toutes les deux à la même solution. | Livre des choses rares d’Abu Kamil |
Extrait du Livre complet d’Abu Kamil Le problème revient aujourd’hui à résoudre l’équation : où x est le nombre de jours travaillés 6x = 4(30 – x) Il faudra ensuite distinguer deux courants dans le monde arabe : – les algébristes arithméticiens qui voient l’arithmétique au service de l’algèbre au moyen d’algorithmes numériques performants aidant à la résolution des équations. Abu Bakr al Karaji (953 ; 1029), au travers de son traité « al Kitab al fakhri fi l-jabr wa l-muqabala » (Le Fakhri en algèbre) en sera un acteur et fera progresser les méthodes sous l’influence des techniques algébriques des « Arithmétiques » de Diophante. Triangle d’al Karaji – les géomètres algébristes font avancer l’algèbre par la géométrie en étudiant en particulier les constructions géométriques permettant de représenter les racines des équations. Muhammad al Mahani (820 ; 880) s’intéresse au problème d’ Archimède de Syracuse (-287 ; -212) exposé dans le traité « Sur la sphère et le cylindre » (Proposition 4 du Livre II). Ce problème consiste à étudier l’intersection d’une sphère par un plan. Il sera amené à résoudre par radicaux une équation du 3e degré du type x 3 + r = px 2 , ce que les algébristes arithméticiens n’avaient pas encore tenté.
Ses méthodes de calculs algébriques sur l’inconnue et ses différentes puissances donneront naissance à la théorie des polynômes. A cette occasion, al Karaji expose un triangle de détermination du binôme (a+b) n.
Toutefois ses recherches resteront vaines. D’autres mathématiciens du Xe siècle comme Abu Jafar al Khazin (900 ; 971) et al Hasan Ibn al Haytham (965 ; 1040), plus connu sous le nom d’ Alhazen en Europe, reprennent des problèmes venus de l’Antiquité comme la duplication du cube, la trisection de l’angle ou certaines constructions de polygones qui mènent à des équations du 3e degré.
Plus tard, le mathématicien et poète Omar Khayyam (1048 ; 1123) écrit un traité sur les équations cubiques « Kitab a l-jabr wa l-muqabala » (Livre d’algèbre). Il dissocie l’algèbre de l’arithmétique et passe par les radicaux pour résoudre les équations.
En utilisant les méthodes numériques ou géométriques, Omar Khayyam étudie les équations sous forme rhétorique mais dans des cas généraux : les coefficients sont des nombres positifs quelconques. Il remarque que les équations du 3e degré possèdent deux racines distinctes positives mais passe à côté de la troisième.
« Puisque tu ignores ce que te réserve demain, efforce-toi d’être heureux aujourd’hui. Prends une urne de vin, va t’asseoir au clair de lune, et bois, en te disant que la lune te cherchera peut être vainement, demain.
» Extrait de Robaiyat, Omar Khayyam. En 1170, dans « Les équations », Sharaf al Din al Tusi (1135 ; 1213) reprend les travaux des deux courants. Il passe par des discussions sur l’existence des racines positives en étudiant des courbes et en donnant des solutions numériques approximées.
- Son approche est locale et analytique;
- Cette conception sera poursuivie par Jemshid Al Kashi (1380 ; 1430) dans son « Traité de la corde et du sinus »;
- Il sera mené à donner une valeur approchée d’une équation du type x 3 + q = px pour étudier le problème de la trisection de l’angle;
A partir du début du XVe siècle, les recherches mathématiques vont périclitées dans le monde arabe pour se propager en Europe en passant par l’Espagne musulmane. L’algèbre en Occident En Italie : Tartaglia Au XVe et XVIe siècle, l’algèbre prend son essor avec des méthodes de résolution pour des équations du 3e et 4e degré et l’apparition des nombres complexes. Les premières traductions de traités arabes comme le « Livre d’algèbre » d’ al Khwarizmi ou le « Livre complet » d’ Abu Kamil commencent à faire leur apparition. L’Italie prend une certaine avance dans la réalisation de copies des ouvrages arabes. Celà s’explique par la constitution d’une grande classe de marchands ayant besoin de manuels de calcul.
- Dans son « Liber Abaci », l’italien Léonard de Pise dit Fibonacci (1170 ; 1250) expose des éléments d’algèbre du passé qu’il enrichit de nouveaux problèmes et de nouvelles méthodes;
- En 1494, dans « Summa de arithmetica, geometria, proporzioni et proporzionalita », Luca Pacioli (1445 ; 1517) donne une solution générale des équations du premier degré, sans notation exponentielle, mais avec de nombreuses abréviations;
Il utilise par exemple les lettres p et m pour désigner respectivement une addition et une soustraction. Lors d’un défi, l’italien Niccolo Fontana dit Tartaglia (1499 ; 1557) trouve la résolution générale d’équations du type x 3 + px = q. Dans un premier temps, il ne voudra pas dévoiler sa formule jusqu’à ce que Gerolamo Cardano (1501 ; 1576), au nom francisé de Jérôme Cardan , lui arrache. Résolution de l’équation du troisième degré donnée à Cardan en 1546, Tartaglia. Rafaël Bombelli (1526 ; 1572) est premier à diffuser les problèmes de Diophante dans le monde de l’Occident. Comme Cardan , il étudie des équations de degrés supérieurs à 2 et considère les racines négatives. Vers le symbolisme : En 1484, Nicolas Chuquet (1445 ; 1500) écrit un remarquable ouvrage d’algèbre « Triparty en la science des nombres », mais son oeuvre n’est pas publiée et mal comprise de ses contemporains.
- C’est ce dernier qui, dans « Practica arithmeticae », admet sur des équations à cœfficients numériques des solutions négatives et manipule des racines carrées de nombres négatifs;
- En 1545, dans « Ars magne », Cardan propose une méthode de résolution d’équations du 4e degré;
Chuquet résout des systèmes d’équations du premier degré, utilise habilement les nombres négatifs jusqu’aux puissances négatives et établit des notations exponentielles. Par exemple, pour 12x 3 , il note 12 3. En 1544, le moine allemand Michaël Stifel (1486 ; 1567) note l’inconnue par une sorte de r et travaille avec les nombres négatifs qu’il appelle nombre absurde.
- Avec le français François Viète (1540 ; 1603), l’algèbre prend un nouveau tournant;
- Il conçoit l’écriture d’expressions à plusieurs inconnues et à coefficients littéraux;
- Ce qui permet d’apporter des méthodes de résolution dans des cas généraux;
Il conserve une conception géométrique puisque les lettres représentent des grandeurs géométriques mais il n’hésite pas à dépasser la dimension 3 ce qui étonne Stifel qui qualifie sa vision de « contre-nature ». Viète peut être considéré comme le créateur du symbolisme mathématique moderne. 
Avec René Descartes (1596 ; 1650), l’algèbre quitte sa forme syncopée et devient une branche totalement indépendante des mathématiques. C’est lui qui met en place les notations modernes que nous connaissons en algèbre, comme par exemple l’exposant pour les puissances. Il propose d’utiliser les premières lettres de l’alphabet pour des quantités connues et les dernières pour les inconnues.
Aujourd’hui encore, les paramètres sont habituellement notés a, b ou c alors que les variables sont x, y ou z. Grâce à un bon symbolisme, Descartes développe l’aspect « mécanique » du calcul algébrique qui, selon lui, permet de simplifier la pensée.
Utilisant ses récentes découvertes dans le domaine de la géométrie analytique, Descartes résout des équations du 3e et 4e degré en passant par la construction de courbes. Fin du XVIIe siècle, le symbole = entre dans l’écriture des équations. Ce symbole fut introduit en 1557 dans The Whetstone of Witte par l’anglais Robert Recorde (1510 ; 1558) : « Rien n’est plus pareil que deux lignes jumelles. » 
Extrait de The Whetstone of Witte de Robert Recorde Evolution moderne : Au XVIIIe siècle, les progrès en algèbre se font plus rares avec les efforts donnés au calcul infinitésimal et le développement de l’analyse. Alexandre Van der Monde (1735 ; 1796) travaille toutefois sur la résolution d’équations de degrés supérieurs. Et Joseph Lagrange (1736 ; 1813) puis Niels Abel (1802 ; 1829) s’attacheront à démontrer l’impossibilité de résoudre les équations du 5e degré avec des radicaux. Au XIXe siècle, l’algèbre voit arriver les calculs de déterminants puis matriciels et d’autres mathématiciens tels Evariste Galois , ouvriront les portes de l’algèbre moderne … mais c’est là un autre sujet … Pour finir, remontons le temps au travers d’une même “équation” : 
Quelques liens traitant du sujet :
- Académie de Bordeaux La naissance de l’algèbre, article de Ahmed Djebbar
- culturemaths L’algèbre arabe
- Images des maths Résolution des équations de degré 3 et 4
- Math93 Une histoire des équations
- Math93 Le symbolisme algébrique : l’usage des lettres
- Nombres – Curiosités, théorie, usage Définitions
- Bibliographie
Comment faire de la factorisation ?
Sommaire – Introduction Factoriser avec un facteur commun 1/2 Factoriser avec un facteur commun 2/2 Facteur commun avec une parenthèse Facteur commun avec une puissance Factoriser sans facteur commun Factoriser avec plusieurs termes Factoriser avec une identité remarquable Exercices Introduction Nous allons voir dans ce chapitre comment factoriser une expression.
- Suivant l’expression que l’on veut factoriser il y a différentes méthodes que nous allons étudier une par une en détail;
- Les exercices disponibles à la fin du chapitre te permettront de mettre en application chacune des méthodes étudiées;
Factoriser une expression, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Il faut donc à la base avoir au moins deux termes que l’on additionne ou soustrait. Par exemple dans 8x + 5, les deux termes sont 8x et 5. Dans 6(x+4) 2 – 9, les deux termes sont 6(x+4) 2 et 9. Nous verrons bien sûr les cas où il y a plus de deux termes mais c’est aussi simple que quand il n’y en a que deux La factorisation est utile dans plusieurs cas, notamment pour faire un tableau de signe ou résoudre des équations comme on le verra dans les exercices. Factoriser avec un facteur commun 1/2 La plupart des factorisations se font avec un facteur commun. Mais qu’est-ce qu’un facteur commun ? C’est tout simplement un nombre, une lettre ou une expression (avec des parenthèses) que l’on retrouve dans chacun des termes.
- Dans 5x 2 + 2x – 7, les trois termes sont 5x 2 , 2x et 7;
- Les exemples que nous donnerons seront essentiellement avec deux termes pour que cela soit plus simple;
- Par exemple dans 6x + 6y, le facteur commun est 6 puisqu’il y a 6 dans 6x et dans 6y;
Dans 9(x + 3) – (x + 5)(x + 3), le facteur commun est (x + 3). Dans 7(x – 5) 2 + 7(x – 5), le facteur commun est (x – 5). Sachant cela, commençons par voir les cas les plus simples, à savoir quand le facteur commun est uniquement un nombre ou une lettre. On met ce facteur commun au début, puis on ouvre une parenthèse et on réécrit l’expression de départ sans mettre le facteur commun : 6x + 6y = 6(x + y) 7x – 7y = 7(x – y) 9x + x√2 = x(9 + √2) xy – 7y = y(x – 7) Comme tu le vois, le facteur est mis devant, puis dans la parenthèse on réécrit l’expression de départ sans le facteur commun.
Pour vérifier, on peut prendre l’expression de droite et la développer, on devrait retrouver l’expression de gauche : 6(x + y) = 6 × x + 6 × y = 6x + 6y : c’est bon ! Voyons un cas particulier : quand le facteur commun est « tout seul » : 6x + 6 = 6(x + ???) En effet, que reste-t-il si l’on factorise 6 par 6.
Et bien il reste… 1 ! Donc 6x + 6 = 6(x + 1) En effet, quand on factorise par un facteur commun, cela revient à diviser chaque terme par ce facteur commun. Autre exemple : Bien sûr cette technique est juste pour t’expliquer le pourquoi du comment, tu n’as pas à rédiger de la sorte et tu peux dire directement : 4x + 4y = 4(x + y). Cependant nous verrons que cette méthode où on divise par le facteur commun est utile dans certains cas plus complexes, c’est d’ailleurs ce que nous allons voir tout de suite ! Ces premiers exercices devraient t’aider à t’entraîner ! Factoriser avec un facteur commun 2/2 Haut de page Il y a des cas où le facteur commun n’est pas évident, il faut le faire apparaître.
- Par exemple dans 8x + 12y, on ne voit pas immédiatement le facteur commun, donc par quoi on va factoriser;
- Le but est alors de réécrire l’expression d’une manière différente afin de faire apparaître le facteur commun;
Dans cet exemple : 8x + 12y = 4 × 2x + 4 × 3y : on voit maintenant que le facteur commun est 4 ! 8x + 12y = 4 × 2x + 4 × 3y 8x + 12y = 4(2x + 3y) Mais comment trouver ce facteur commun ? Il faut regarder dans chaque terme les nombres et regarder ce qui les divise, et on fait de même avec les lettres. (tu es invité à aller voir le cours sur le PGCD (bientôt disponible) pour plus de détails là-dessus ) En revanche les lettres sont x et y : il n’y a rien en commun. Donc le facteur commun est 4. Autre exemple : 9xy + 15x : les nombres sont 9 et 15 : leur PGCD est 3. Les lettres sont xy et x : il y a x en commun. Donc le facteur commun sera 3x : 9xy + 15x = 3x(3y + 5) Dans les exemples que nous venons de voir, calculer le PGCD des deux nombres est assez simple, cela se fait de tête.
- Les nombres sont 8 et 12;
- Il faut trouver leur PGCD, c’est-à-dire Plus Grand Diviseur Commun;
- Ici c’est assez simple de voir que c’est 4;
- En revanche quand on a des exemples plus compliqués, on ne va pas commencer à calculer le PGCD, c’est souvent trop long;
A la place, on peut tout simplement factoriser au fur et à mesure, en plusieurs étapes. Pour cela il va falloir bien connaître les règles de divisibilité !!!! Tu es grandement invité à aller revoir cela dans le chapitre sur le calcul mental où tout est expliqué en détails Exemple : 462x + 294y. Au niveau des lettres (x et y), il n’y a rien en commun. Pour les nombres 462 et 294 il faudrait trouver le PGCD : on peut le faire avec l’algorithme d’Euclide mais c’est bien trop long et tu risques de faire des erreurs. Commençons alors par simple : on voit que l’on peut factoriser par 2 (car 462 et 294 sont pairs) : 462x + 294y = 2(231x + 147y) : il faut trouver par quoi sont divisibles 231 et 147 : par 3 ! 462x + 294y = 2 × 3 (77x + 49y) : 77 et 49 sont divisibles par… 7 ! 462x + 294y = 2 × 3 × 7 (11x + 7y) Et là c’est fini car on ne peut plus factoriser 11x + 7y. Il reste alors à regrouper tous les facteurs : 462x + 294y = 42(11x + 7y) Au passage, on a trouvé le PGCD de 462 et 294 qui est 42 Comme tu le vois on peut factoriser au fur et à mesure en trouvant un facteur commun à chaque fois, ce pourquoi il faut bien connaître les règles de divisibilité (surtout par 2, 3, 5, 9, 10, et 11). La deuxième vidéo de cette page donne quelques exemples. Facteur commun avec une parenthèse Haut de page Il peut arriver que le facteur commun ne soit pas une lettre ou un nombre mais une expression dans une parenthèse. Exemple : 7(x + 3) + (x + 5)(x + 3) : le facteur commun est (x + 3).
Le principe est alors exactement le même : 7(x + 3) + (x + 5)(x + 3) = (x + 3)[7 + (x + 5)] 7(x + 3) + (x + 5)(x + 3) = (x + 3)[7 + x + 5] 7(x + 3) + (x + 5)(x + 3) = (x + 3)(x + 12) Tu auras remarqué qu’à la première étape on a mis des crochets, tout simplement parce qu’il y a une parenthèse à (x+5), donc pour plus de clarté on a mis des crochets.
Mais rien ne t’empêche de mettre des parenthèses à la place des crochets, ce sera juste un peu moins lisible pour le correcteur. Par contre à la dernière ligne on a remis les parenthèses puisque les parenthèses à (x + 5) ont disparu à l’étape d’avant. Attention au signe quand on enlève les parenthèses : 8(x + 6) – (x + 7)(x + 6) = (x + 6)[8 – (x + 7)] 8(x + 6) – (x + 7)(x + 6) = (x + 6)[8 – x – 7] 8(x + 6) – (x + 7)(x + 6) = (x + 6)(1 – x) Comme tu le fois à la 2ème ligne il faut changer les signes de la parenthèse à cause du moins devant la parenthèse ! Dernier exemple : (x – 4)(x + 8) – (x + 8)(2 – x) = (x + 8)[(x – 4) – (2 – x)] (x – 4)(x + 8) – (x + 8)(2 – x) = (x + 8)[x – 4 – 2 + x] (x – 4)(x + 8) – (x + 8)(2 – x) = (x + 8)(2x – 6) Il arrive parfois que les expressions entre parenthèses soient à une certaine puissance. Nous allons donc voir comment factoriser ce genre d’expressions ! Pour bien comprendre, ces exercices devraient t’aider ! Facteur commun avec une puissance Haut de page Le facteur commun (une lettre, un nombre ou une parenthèse) peut être à une certaine puissance : 2x 2 + 3x : x est le facteur commun mais au carré dans le 1er terme 9x 6 – 7x 15 : x est le facteur commun mais puissance 6 dans le 1er terme et 15 dans le 2ème 8(x + 5) 9 + (3 – x)(x + 5) 7 : (x + 5) est le facteur commun mais puissance 9 dans le 1er terme et 7 dans le 2ème Le principe est le suivant : on factorise par le terme avec la puissance la plus petite ! 2x 2 + 3x : on factorise par x 9x 6 – 7x 15 : on factorise par x 6 8(x + 5) 9 + (3 – x)(x + 5) 7 : on factorise par (x + 5) 7 Cela donne : 2x 2 + 3x = x(2x + 3) 9x 6 – 7x 15 = x 6 (9 – 7x 9 ) 8(x + 5) 9 + (3 – x)(x + 5) 7 = (x + 5) 7 [8(x + 5) 2 + (3 – x)] Tu auras remarqué que la plus grande puissance du facteur commun est diminuée de la puissance du facteur commun : x 15 devient x 9 car on a factorisé par x 6 et 15 – 6 = 9 (x + 5) 9 devient (x + 5) 2 car on a factorisé par (x + 5) 7 et 9 – 7 = 2 En effet, si on écrit le détail en divisant par le facteur commun, on obtient : ————– ————– — On rappelle en effet que : Donc : — Cela peut te sembler un peu compliqué mais avec les exercices tu comprendras encore mieux Ces quelques exercices te serviront de base pour t’entraîner ! Factoriser sans facteur commun Haut de page Depuis le début nous voyons comment factoriser une expression avec un facteur commun. Mais comment faire quand on n’a pas de facteur commun ? Et bien on peut tout simplement factoriser par… ce que l’on veut ! Enfin presque… En effet, on a vu que factoriser revenait à diviser chaque terme par le facteur commun. Or on peut diviser par tout… sauf 0 ! Ainsi l’expression 9x – 5y peut très bien se factoriser par 3 : L’intérêt peut paraître ici un peu limité, surtout que l’on a désormais une fraction alors qu’au début il n’y en avait pas, mais tout dépend de l’énoncé. En effet, il arrive que l’on ait à simplifier ce genre de fractions : A priori on ne peut factoriser ni le numérateur ni le dénominateur. Mais en factorisant par x 2 , on obtient : On obtient une nouvelle expression, qui là encore peut sembler avoir peu d’intérêt, mais dans certains cas cette deuxième expression peut être plus facile à utiliser. — ATTENTION cependant !! On se retrouve avec un x au dénominateur (dans 7/x 2 ), il faut donc bien préciser que x ≠ 0 !!! De même si on factorise par (x + 3) et donc que l’on divise par (x + 3), il faut préciser que x ≠ – 3. — Fais ces quelques exemples pour voir si tu as bien compris ! Factoriser avec plusieurs termes Haut de page Depuis le début on a vu comment factoriser quand on a 2 termes. Par contre il y a 3 dans chaque terme, on va donc factoriser par 3 : On peut bien sûr factoriser par 6, mais cela va faire apparaître une fraction : Dans les cas plus complexes on peut très bien factoriser au fur et à mesure : Comme tu le vois on factorise au fur et à mesure en utilisant les règles de divisibilité simples, par 2, par 3, par 5 etc… jusqu’à ce qu’on ne puisse plus factoriser. Avec ces quelques exemples tu devraisy voir plus clair si tu n’as pas compris ! Factoriser avec une identité remarquable Haut de page La dernière possibilité pour factoriser une expression est d’utiliser une identité remarquable. Pour cela, le plus simple est d’aller directement voir le chapitre sur les identités remarquables , ainsi que la page d’exercices sur les identités remarquables où tu trouveras tout ce que tu dois savoir ! Exercices Tu trouveras sur cette page toutes les vidéos sur la factorisation ! Retour au sommaire des cours Remonter en haut de la page.
Comment retrouver un exercice sur Internet ?
C’était la rentrée lundi et les élèves commencent à avoir des devoirs. Mais (heureusement), il existe une application qui les fait à leur place, le genre d’application dont on a rêvé quand on était étudiant. On prend en photo une question de ses devoirs, par exemple “résoudre l’équation 12×2+3x-7=32”, et non seulement le programme va donner la bonne réponse, mais en plus, il va détailler toutes les étapes pour la trouver : d’abord factoriser, appliquer la formule b2-4ac, simplifier… Tout cela exactement comme quand le professeur corrige.
- Mieux, il est aussi capable de résoudre les problèmes de baignoire, celle qui se remplit à 42 mm3 par minute, mais qui fuit et où il faut trouver l’âge du capitaine;
- Il suffit de prendre l’énoncé en photo, le programme fait de la reconnaissance d’image et donne toutes les étapes pour résoudre le problème;
Et ça fonctionne aussi pour l’histoire-géo, la physique et la biologie. Ça s’appelle Socratic, c’est gratuit et redoutablement efficace. Oui, mais c’est de la triche, une application pour les cancres. Ce n’est pas du tout comme cela qu’ils se voient. Ils se considèrent plutôt comme “une aide aux devoirs”.
- Parce qu’en plus de la réponse et des étapes pour la trouver, ils rappellent les notions utilisées, donnent des astuces et même des vidéos de cours entiers sur le même thème (ce que l’on appelle les Mooc);
Leur objectif est donc de servir d’outil de révision quand on est scolarisé ou d’outil d’apprentissage quand on se débrouille tout seul. Mais évidemment, certains vont l’utiliser pour tricher sur leurs devoirs. Or il est plus compliqué d’interdire le smartphone à la maison.
Mais ça marche pour toutes les matières ? Même le Français et la Philo ? Presque… Il faut préciser que l’application est américaine et qu’elle est assez récente donc tout n’est pas encore traduit en français.
Pour les maths et la physique, il n’y a pas trop de problèmes. Mais pour les sciences humaines, mieux vaut avoir un énoncé en anglais. Sinon, elle se contente de faire des recherches sur des sites comme DigiSchool ou Yahoo Questions/réponses. Elle n’est pas non plus capable de donner un plan de dissertation par exemple, mais cela ne saurait tarder.
Est-ce que devoir rendu est gratuit ?
Question: Quel est le but de votre service? Comment fonctionne-t-il? Réponse: Notre but est de vous aider dans votre éducation. Sur Devoir Rendu, vous avez accès à une base d’exercices résolus, issus de plus de 400 manuels scolaires. Nous sommes une jeune entreprise et nous venons de lancer ce service.
C’est pour cela que nous voulons tout d’abord vous donner la possibilité de nous connaître et voir quels sont les avantages de Devoir Rendu. Le site est donc gratuit. Question: Est-ce que je peux avoir la certitude que les exercices sont correctement résolus ? Réponse: Nous avons mis beaucoup de temps à préparer les solutions pour vous aider à faire vos devoirs.
Les exercices ont été résolus par des professionnels en chaque matière, puis ont été relus et corrigés par un groupe d’experts, constitué d’enseignants, de professeurs et de spécialistes dans les différentes disciplines. Toutefois, l’erreur est humaine, si jamais vous voyez une inexactitude dans une des solutions, faites-nous signe en remplissant le formulaire de signalisation d’erreur, disponible en bas à droite de chacune des solutions.
Question: Je ne vois pas mon manuel scolaire. Est-ce possible qu’il ne soit pas dans votre base? Réponse: Oui. En ce moment, notre base contient plus de 400 manuels résolus. Cependant, nous travaillons sur de nombreuses autres matières et sur plusieurs manuels en plus.
Si votre manuel ne figure pas sur la liste, vous avez la possibilité de proposer un manuel à résoudre (le formulaire adéquat se trouve en dessous de la liste des manuels). N’oubliez pas de vérifier si d’autres utilisateurs n’ont pas signalé le manuel manquant.
Si cela est le cas, votez pour le manuel que vous recherchez. Les manuels avec le plus grand nombre de votes seront résolus et mis à votre disposition! Question: Le site est-il gratuit? Réponse: Oui, en ce moment le service n’est pas payant.
Question: Pourquoi est-ce que je ne peux choisir qu’une seule classe et ne peux pas la changer ? Réponse: Après votre inscription, assurez-vous de choisir la bonne classe. Vous ne pourrez la changer que pendant les vacances d’été. Question: Combien y a-t-il de manuels résolus? Réponse: Nous vous proposerons plus de 400 manuels résolus! Nous sommes notamment en train de travailler sur des manuels publiés par différentes éditions et correspondants à d’autres matières.
- Nous travaillons aussi sur la classe de Terminale;
- Question: Est-ce que je peux sauvegarder les exercices sur mon téléphone portable ou mon ordinateur? Réponse: Ceci n’est pas faisable;
- Cependant, les utilisateurs peuvent classer les livres parmi leurs favoris (“Mes favoris”);
Vous pouvez donc avoir accès beaucoup plus rapidement aux solutions dont vous avez le plus besoin. N’oubliez pas qu’il est interdit de partager les solutions qui sont réservées strictement à vous. Le partage des solutions est illégal. Question: Quelles sont les données que je fournis en me connectant à DevoirRendu par mes comptes sur les réseaux sociaux ? Réponse: Nous sommes susceptibles de collecter et de conserver des données permettant votre identification : toute donnée que vous saisissez sur notre Site, y compris les données permettant votre identification, telles que : vos nom et prénom, votre adresse électronique, votre date de naissance et votre pays de résidence.
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